RELACION O FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIÓN EXPONENCIAL (y=a^x)

Recordaremos los siguientes aspectos de la función exponencial

• Características de función exponencial.
• Gráficos de la función exponencial.
• Análisis de situaciones en diversos ámbitos modeladas por una función exponencial.
Las funciones exponenciales, son relaciones funcionales en las cuales la variable independiente x es el exponente de la potencia o parte de la potencia que conforma. y =a^x

La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL (e^x) 

El número e se define como el valor al que se aproxima (1 + 1/n)n cuando n se vuelve grande. e es un número racional, así que no se puede escribir si valor exacto en forma decimal. La función exponencial natural es la función exponencial: f(x) =ex‪  con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial. Aquí se puede apreciar la gráfica de la función exponencial natural:

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.

El número “e”, también conocido como Número de Euler o Constante de Napier es uno de los números reales más relevantes, considerado como el número del cálculo por excelencia.

Se relaciona con resultados importantes como la derivada de la función exponencial: f( x ) = e^x

Su valor aproximado es:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995

El descubrimiento del número e se le acredita a Jacob Bernoulli, que estudiaba un problema llamado interés compuesto.

Jacob Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2.71828... 

La función exponencial que tiene como base el número e se le denomina como función exponente natural y es la función expresada por:     f(x) = e^x

Qué es el número "e"?

RELACIÓN O FUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIÓN LOGARÍTMICA (log_a)

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

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Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con frecuencia en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. 

Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representado.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO (ln x)

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527.

El logaritmo natural notado como ln(x), como log_e(x) y en algunos contextos como log(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7.38905... es 2, ya que e²=7,38905... El logaritmo natural de e es 1, ya que e¹=e.

Desde el punto de vista analítico, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. 

La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

Si observamos la siguiente gráfica confirmamos además que la función inversa de la función e es el logaritmo natural o neperiano (lnx)      

CONCEPTO INTUITIVO DEL LOGARITMO NATURAL (NEPERIANO)

 

 

 

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Graficando una Función Exponencial

FUNCIÒN EXPONENCIAL NATURAL (e^x) 

Qué es el número "e"?

FUNCIÓN LOGARÍTMICA (log_a)

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representado.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como 

f (x) =log_ax 

siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:

Si observamos la siguiente gráfica confirmamos además que la función inversa de la función e es el logaritmo natural o neperiano (lnx)              

CONCEPTO INTUITIVO DE LOGARITMO

UNIDAD III: RELACIONES TRASCENDENTES

En este curso, consideramos que la modelación supone la actividad matemática desde el “hacer” a través de la resolución de problemas relacionados con la vida diaria, los contextos de los estudiantes y los procesos matemáticos, planteados en actividades tales como:

-  Identificar las matemáticas específicas en un contexto general.

-  Formular y visualizar un problema de diferentes formas.

- Transferir un problema del mundo real a un modelo matemático conocido  

Estas actividades constituyen procesos básicos de la modelación, suponiendo una dinámica entre el mundo real y las matemáticas. El identificar, visualizar, formular y transferir, exige al estudiante una forma de expresión coherente con el lenguaje matemático y su comprensión de la realidad. 

Conforme al enfoque por competencias en esta unidad se estará promoviendo las siguientes competencias:

C1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

C4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Funciones Trascendentes

Las dos funciones trascendentes que estudiaremos en esta Unidad serán:

La función exponencial natural o número neperiano (e)

La función logarítmica natural (ln)

Introducción
Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen una amplia variedad de aplicaciones, probablemente habrás leído en artículos de periódicos y revistas que algunas cosas, como el gasto en servicios de salud, el uso de internet y la población mundial, por ejemplo, crecen a un ritmo exponencial, lo cual comprenderás al término de esta unidad.

Son la función exponencial  natural  y la función natural  logarítmica para expresar  y representar 
magnitudes cuyo crecimiento  es muy rápido . Muchos fenómenos , tales  como fechado  con carbono
, el decaimiento  radiactivo y el crecimiento de los ahorros invertidos en una cuenta  en la que el interés se capitaliza de forma continua , pueden describirse por medio  de funciones exponenciales logarítmicas.

 .

El fechado o la datación por carbono radioactivo es un método de datación radiométrica que utiliza el isótopo carbono-14 (14C) para determinar la edad de materiales que contienen carbono hasta unos 50 000 años.

  
Crecimiento Exponencial

 Evaluación Diagnostica


 https://drive.google.com/open?id=1QS-iVa3PMMlMbYu6Ccv6R3cMC9YxVtv3

MODELACIÓN MATEMÀTICA EN EL CÀLCULO

 MODELACIÓN: APLICACIÓN DE LA DERIVADA 

Introducción

En el estudio del Cálculo Diferencial es primordial el concepto de variación o cambio continuo.

A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. 

El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. 

Muchos de los aspectos de la vida diaria como los de las ciencias y las ingenierías tienen que ver con el cambio de las cosas y, en especial, con el cambio de una variable con relación a otras. 

Las aplicaciones de la derivada en diversos campos pueden clasificarse en dos grupos: 

a) La derivada como índice matemático 

Expresa la tasa de variación o razón de cambio. En distintas disciplinas como Electricidad , Electrónica , Termodinámica , Mecánica , Economía , Biología , etc , resulta de importancia fundamental no sólo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra , sino conocer cuán rápido se produce esa variación. 

En Física la velocidad de un automóvil representa la razón de cambio (derivada) de su posición con respecto al tiempo, la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivada de la función espacio recorrido, y la aceleración como derivada de la velocidad.

b) La derivada en Optimización de Funciones

Los problemas llamados de optimización, desde el punto de vista matemático se reducen a problemas de determinación de máximos y mínimos absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos.

A una empresa de transporte seguramente le interesa que el costo por kilómetro de sus viajes sea el menor posible.

A un fabricante de determinado artículo le interesará que el costo de fabricación por unidad sea el más bajo posible.

En Electrotecnia, interesará cómo diseñar determinado dispositivo para que su consumo de energía sea mínimo.

Una empresa de construcción le interesará cómo dimensionar un silo para grano para que el costo de la construcción sea el más bajo posible. Y a un vendedor se interesará cuál es el precio de venta de su producto para obtener el mayor beneficio posible.

II.3.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS (EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN)

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Cuando evaluamos una función f(x) se localizan en la gráfica los puntos que describen el comportamiento de la función, cuando se evalúa la derivada f’(x), los puntos que se obtienen representa la pendiente de la recta en ese punto.

Se quiere calcular la pendiente de la recta tangente (Toca en 1 solo punto) de la función f(x), en cualquier punto de ella :

Como en cada punto de una curva f(x) existe una única recta tangente, entonces podemos pensar que para cada valor (x0,x1,x2,etc.) de este punto, la pendiente representa una "altura" para el mismo. 

Es decir, podemos construir una nueva función representativa de éstas. Esta función se llamará Función Derivada f'(x).

En resumen : "De la pendiente de una función f(x) (azul) se obtiene la altura de la grafica de la derivada  f’(x) (rosa) “

Para comprender los puntos críticos: puntos de inflexión, máximos y mínimos es importante conocer las gráficas de las funciones polinomiales como se muestra en el video a continuación

 En los videos siguientes se obtienen el máximo y mínimo de una función.

APLICACIONES DE LA DERIVADA - RAZÓN DE CAMBIO

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

 

 

APLICACIONES DE LA DERIVADA - OPTIMIZACIÓN (Máximos y mínimos)

 

 

MODELACIÓN MATEMÀTICA GEOMETRICA

II.2 MODELACIÓN GEOMÉTRICA
II.2.1. Semejanza
II.2.2. Resolución de Triángulos
II.2.3. Rectas
II.2.4. Cónicas

II.2.1. SEMEJANZA

¿Qué es la semejanza en Matemáticas?

Semejanza (matemáticas) Una semejanza (o similitud) es una aplicación entre dos espacios métricos que modifica las distancias entre dos puntos cualesquiera multiplicándolas por un factor fijo. En el caso de los espacios euclídeos, por ejemplo, es la composición de una isometría y una homotecia.

Semejanzas en Geometría

Se dice que dos figuras son semejantes si se pueden hacer coincidir mediante una dilatación de las dimensiones de una de ellas, posiblemente con una rotación y/o una reflexión adicionales. Es decir, si tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. 

De manera formal, dos polígonos son semejantes si y sólo si existe una correspondencia uno a uno entre los vértices de los polígonos de tal manera que los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son iguales (congruentes). 

La congruencia de polígonos es un caso particular de la semejanza, donde la constante de proporcionalidad es 1. (Como transformación geométrica, la semejanza es la composición de una homotecia positiva con un desplazamiento.)

II. 2.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

¿Qué es la semejanza de triángulos y ejemplos?

 II. 2.3. RECTAS

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

 

 II.2.4. CÓNICAS

Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas resultantes de la intersección del cono y un plano. Este plano no debe pasar por el vértice (V).

Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta con el cono y su base:

• Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base.
• Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.
• Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base. 
• Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado. 

Las cónicas tienen una fórmula general para definir los puntos (x,y) que la forman. 

Según las características de los parámetros A, B, C, D y E, definirán cada uno de los cuatro tipos de cónica:

La ecuación de una cónica 

se puede escribir en forma matricula como:

donde:

La siguiente tabla se resume  la información matemática  de ellos.